Информация о задаче

Задача 57401

Тема:

[

Геометрические неравенства (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что периметр остроугольного треугольника не меньше 4R.

Решение

Первое решение. Любой треугольник периметра P можно поместить в круг радиуса P/4, а если остроугольный треугольник помещен в круг радиуса R₁, то R₁ $\geq$ R (задача 9.92). Поэтому P/4 = R₁ $\geq$ R.

Второе решение. Если 0 < x < $\pi$ /2, то sin x > 2x/ $\pi$ . Поэтому a + b + c = 2R(sin $\alpha$ + sin $\beta$ + sin $\gamma$ ) > 2R(2 $\alpha$ + 2 $\beta$ + 2 $\gamma$ )/ $\pi$ = 4R.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	11
Название	Разные задачи
Тема	Геометрические неравенства (прочее)
задача
Номер	09.093