Информация о задаче

Задача 57412

Тема:

[

Неравенства с медианами

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что если a, b, c — длины сторон произвольного треугольника, то a² + b² $\geq$ c²/2.
б) Докажите, что m_a² + m_b² $\geq$ 9c²/8.

Решение

а) Так как c $\leq$ a + b, то c² $\leq$ (a + b)² = a² + b² + 2ab $\leq$ 2(a² + b²).
б) Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC. Согласно задаче а) MA² + MB² $\geq$ AB²/2, т. е. ${\frac{4m_a^2}{9}}$ + ${\frac{4m_b^2}{9}}$ $\geq$ c²/2.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	1
Название	Медианы
Тема	Неравенства с медианами
задача
Номер	10.004