Задача 57424

Тема:    [ Неравенства с высотами ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Пусть  a b c. Докажите, что тогда  h_a + h_b + h_c 3b(a²+ac+c²)/(4pR).

Решение

Так как  b/2R = sin, то после домножения на 2p переходим к неравенству (a + b + c)(h_a + h_b + h_c) 3 sin(a² + ac + c²). Вычитая из обеих частей 6S, получаем a(h_b + h_c) + b(h_a + h_c) + c(h_a + h_b) 3 sin(a² + c²). Так как, например,  ah_b = a²sin = a²c/2R, переходим к неравенству a(b²+c²) - 2b(a²+c²) + c(a²+b²) 0. Для доказательства последнего неравенства рассмотрим квадратный трехчлен  f (x) = x²(a + c) - 2x(a² + c²) + ac(a + c). Легко проверить, что  f (a) = - a(a - c)² 0 и  f (c) = - c(a - c)² 0. А так как коэффициент при x положителен и  a b c, то  f (b) 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	2
Название	Высоты
Тема	Неравенства с высотами
задача
Номер	10.016