Информация о задаче

Задача 57440

Тема:

[

Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC, причем OA $\geq$ OB $\geq$ OC. Докажите, что OA $\geq$ 2r и OB $\geq$ r $\sqrt{2}$ .

Решение

Так как OA = r/sin(A/2), OB = r/sin(B/2) и OC = r/sin(C/2), а углы $\angle$ A/2, $\angle$ B/2 и $\angle$ C/2 острые, то $\angle$ A $\leq$ $\angle$ B $\leq$ $\angle$ C. Следовательно, $\angle$ A $\leq$ 60^o и $\angle$ B $\leq$ 90^o, а значит, sin(A/2) $\leq$ 1/2 и sin(B/2) $\leq$ 1/ $\sqrt{2}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	5
Название	Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей
Тема	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями
задача
Номер	10.030