Задача 57463

Темы:    [ Неравенства для площади треугольника ] [ Формула Герона ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что:
  а)  

  б)  

Решение

  а)  S² = p(p – a)(p – b)(p – c) ≤ p(¹/₃ (p – a + p – b + p – c)³) = ¹/₂₇ p⁴.  Поэтому     то есть     Домножив последнее неравенство на r, получим требуемое.

  б) Так как  (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²),  то  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	8
Название	Неравенства для площади треугольника
Тема	Неравенства для площади треугольника
задача
Номер	10.053