Информация о задаче

Задача 57464

Тема:

[

Неравенства для площади треугольника

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что a² + b² + c² - (a - b)² - (b - c)² - (c - a)² $\geq$ 4 $\sqrt{3}$ S.

Решение

Пусть x = p - a, y = p - b, z = p - c. Тогда (a² - (b - c)²) + (b² - (a - c)²) + (c² - (a - b)²) = 4(p - b)(p - c) + 4(p - a)(p - c) + 4(p - a)(p - b) = 4(yz + zx + xy) и

4 $\displaystyle \sqrt{3}$ S = 4 $\displaystyle \sqrt{3p(p-a)(p-b)(p-c)}$ = 4 $\displaystyle \sqrt{3(x+y+z)xyz}$ .

Итак, нужно доказать неравенство xy + yz + zx $\geq$ $\sqrt{3(x+y+z)xyz}$ . После возведения в квадрат и сокращения получаем

x²y² + y²z² + z²x² $\displaystyle \geq$ x²yz + y²xz + z²xy.

Складывая неравенства x²yz $\leq$ x²(y² + z²)/2, y²xz $\leq$ y²(x² + z²)/2 и z²xy $\leq$ z²(x²+y²)/2, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	8
Название	Неравенства для площади треугольника
Тема	Неравенства для площади треугольника
задача
Номер	10.054