Плоскость раскрашена в семь цветов. Обязательно ли найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1?

   Решение

ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Докажите, что  c/r 2(1 + ).

   Решение

Постройте рациональную параметризацию окружности x² + y² = 1, проведя прямые через точку (1, 0).

   Решение

В треугольнике ABC проведена медиана AM. Докажите, что 2AM(b + c)cos(/2).

   Решение

  – разложение натурального числа m на простые множители. Обозначим  
Докажите, что  a^λ(m) ≡ 1 (mod m)  для любого целого числа a, взаимно простого с m.

   Решение

Володя решил стать великим писателем. Для этого он каждой букве русского языка сопоставил слово, содержащее эту букву. Потом написал слово, сопоставленное букве "A". Дальше каждую букву в нем заменил на сопоставленное ей слово (разделяя слова пробелами), потом в получившемся тексте вновь заменил каждую букву на сопоставленное ей слово, и так всего 40 раз. Володин текст начинается так: "РЯД КОРАБЛЕЙ НА ДРЕМЛЮЩИХ МОРЯХ". Докажите, что этот оборот встречается в Володином тексте еще хотя бы раз.

   Решение

Докажите, что выпуклый пятиугольник ABCDE с равными сторонами, углы которого удовлетворяют неравенствам  A B C D E, является правильным.

   Решение

Тема:    [ Против большей стороны лежит больший угол ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что выпуклый пятиугольник ABCDE с равными сторонами, углы которого удовлетворяют неравенствам  A B C D E, является правильным.

Решение

Предположим сначала, что  A > D. Тогда BE > EC и  EBA < ECD. Так как в треугольнике EBC сторона BE больше стороны EC, то  EBC < ECB. Поэтому  B = ABE + EBC < ECD + ECB = C, что противоречит условию задачи. Значит,  A = B = C = D. Аналогично предположение  B > E приводит к неравенству  C < D. Поэтому  B = C = D = E.

Источники и прецеденты использования