Информация о задаче

Задача 57487

Тема:

[

Неравенства для остроугольных треугольников

]

Сложность: 4
Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если треугольник не тупоугольный, то m_a + m_b + m_c $\geq$ 4R.

Решение

Обозначим точку пересечения медиан через M, а центр описанной окружности через O. Если треугольник ABC не тупоугольный, то точка O лежит внутри его (или на его стороне); для определенности будем считать, что она лежит внутри треугольника AMB. Тогда AO + BO $\leq$ AM + BM, т. е. 2R $\leq$ 2m_a/3 + 2m_b/3 или m_a + m_b $\geq$ 3R. Остается заметить, что так как угол COC₁ (C₁ — середина AB) тупой, то CC₁ $\geq$ CO, т. е. m_c $\geq$ R.
Равенство достигается только для вырожденного треугольника.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	12
Название	Неравенства для остроугольных треугольников
Тема	Неравенства для остроугольных треугольников
задача
Номер	10.076