Информация о задаче

Задача 57492

Тема:

[

Неравенства для остроугольных треугольников

]

Сложность: 6
Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC, CA и AB остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что

2(B₁C₁cos $\displaystyle \alpha$ + C₁A₁cos $\displaystyle \beta$ + A₁B₁cos $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \geq$ a cos $\displaystyle \alpha$ + b cos $\displaystyle \beta$ + c cos $\displaystyle \gamma$ .

Решение

Пусть B₂C₂ — проекция отрезка B₁C₁ на сторону BC. Тогда B₁C₁ $\geq$ B₂C₂ = BC - BC₁cos $\beta$ - CB₁cos $\gamma$ . Аналогично A₁C₁ $\geq$ AC - AC₁cos $\alpha$ - CA₁cos $\gamma$ и A₁B₁ $\geq$ AB - AB₁cos $\alpha$ - BA₁cos $\beta$ . Домножим эти неравенства на cos $\alpha$ , cos $\beta$ и cos $\gamma$ соответственно и сложим их. Получим B₁C₁cos $\alpha$ + C₁A₁cos $\beta$ + A₁B₁cos $\gamma$ $\geq$ a cos $\alpha$ + b cos $\beta$ + c cos $\gamma$ - (a cos $\beta$ cos $\gamma$ + b cos $\alpha$ cos $\gamma$ + c cos $\alpha$ cos $\beta$ ). Так как c = a cos $\beta$ + b cos $\alpha$ , то c cos $\gamma$ = a cos $\beta$ cos $\gamma$ + b cos $\alpha$ cos $\gamma$ . Записав три аналогичных неравенства и сложив их, получим a cos $\beta$ cos $\gamma$ + b cos $\alpha$ cos $\gamma$ + c cos $\alpha$ cos $\beta$ = (a cos $\alpha$ + b cos $\beta$ + c cos $\gamma$ )/2.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	12
Название	Неравенства для остроугольных треугольников
Тема	Неравенства для остроугольных треугольников
задача
Номер	10.080