Задача 57495

Тема:    [ Неравенства для остроугольных треугольников ]

Сложность: 4+ Классы: 8

Условие

Докажите, что треугольник ABC остроугольный тогда и только тогда, когда на его сторонах BC, CA и AB можно выбрать такие внутренние точки A₁, B₁ и C₁, что  AA₁ = BB₁ = CC₁.

Решение

Пусть  A B C. Если треугольник ABC не остроугольный, то  CC₁ < AC < AA₁ для любых точек A₁ и C₁ на сторонах BC и AB. Докажем теперь, что для остроугольного треугольника можно выбрать точки A₁, B₁ и C₁, обладающие требуемым свойством. Для этого достаточно проверить, что существует число x, удовлетворяющее следующим неравенствам: h_a x < max(b, c) = c, h_b x < max(a, c) = c и h_c x < max(a, b) = b. Остается заметить, что  max(h_a, h_b, h_c) = h_a,  min(b, c) = b и h_a < b.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	12
Название	Неравенства для остроугольных треугольников
Тема	Неравенства для остроугольных треугольников
задача
Номер	10.083