Задача 57502

Тема:    [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC биссектриса AD, медиана BM и высота CH пересекаются в одной точке. В каких пределах может изменяться величина угла A?

Решение

Проведем через точку B перпендикуляр к стороне AB. Пусть F — точка пересечения этого перпендикуляра с продолжением стороны AC (рис.). Докажем, что биссектриса AD, медиана BM и высота CH пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда AB = CF. В самом деле, пусть L — точка пересечения BM и CH. Биссектриса AD проходит через точку L тогда и только тогда, когда  BA : AM = BL : LM, но  BL : LM = FC : CM = FC : AM.

Если на стороне AF некоторого прямоугольного треугольника ABF ( ABF = 90^o) отложить отрезок CF = AB, то углы BAC и ABC будут острыми. Остается выяснить, в каких случаях угол ACB будет острым. Опустим из точки B перпендикуляр BP на сторону AF. Угол ACB острый, если FP > FC = AB, т. е.  BF sin A > BFctgA. Следовательно,  1 - cos²A = sin²A > cos A, т. е.  cos A < ( - 1)/2. В итоге получаем, что

90^o > A > arccos(()/2) 51^o50'.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	13
Название	Неравенства в треугольниках
Тема	Неравенства для элементов треугольника (прочее)
задача
Номер	10.090