Условие
Окружность
S1 касается сторон
AC и
AB
треугольника
ABC, окружность
S2 касается сторон
BC и
AB, кроме
того,
S1 и
S2 касаются друг друга внешним образом. Докажите, что
сумма радиусов этих окружностей больше радиуса вписанной
окружности
S.
Решение
Обозначим радиусы окружностей
S,
S1 и
S2
через
r,
r1 и
r2. Пусть треугольники
AB1C1 и
A2BC2 подобны
треугольнику
ABC, причем коэффициенты подобия равны
r1/
r и
r2/
r
соответственно. Окружности
S1 и
S2 являются вписанными для
треугольников
AB1C1 и
A2BC2. Следовательно, эти треугольники
пересекаются, так как иначе окружности
S1 и
S2 не имели бы общих
точек. Поэтому
AB1 +
A2B >
AB, т. е.
r1 +
r2 >
r.
Источники и прецеденты использования
