Задача 57525

Темы:    [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.

Решение

Пусть O — центр окружности радиуса R; A, B и C — вершины треугольника; a = , b = , c = . Тогда AB² + BC² + CA² = |a - b|² + |b - c|² + |c - a|² = 2(|a|² + |b|² + |c|²) - 2(a,b) - 2(b,c) - 2(c,a). Так как |a + b + c|² = |a|² + |b|² + |c|² + 2(a,b) + 2(b,c) + 2(c,a), то AB² + BC² + CA² = 3(|a|² + |b|² + |c|²) - |a + b + c|²3(|a|² + |b|² + |c|²) = 9R², причем равенство достигается, только если a + b + c = 0. Это равенство означает, что треугольник ABC правильный.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	1
Название	Треугольник
Тема	Экстремальные свойства треугольника (прочее)
задача
Номер	11.005