Информация о задаче

Задача 57526

Тема:

[

Экстремальные свойства треугольника (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Периметр треугольника ABC равен 2p. На сторонах AB и AC взяты точки M и N так, что MN| BC и MN касается вписанной окружности треугольника ABC. Найдите наибольшее значение длины отрезка MN.

Решение

Обозначим длину высоты, опущенной на сторону BC, через h. Так как $\triangle$ AMN $\sim$ $\triangle$ ABC, то MN/BC = (h - 2r)/h, т. е. MN = a $\left(\vphantom{ 1-\frac{2r}{h} }\right.$ 1 - ${\frac{2r}{h}}$ $\left.\vphantom{ 1-\frac{2r}{h} }\right)$ . Поскольку r = S/p = ah/2p, то MN = a(1 - a/p). Максимум выражения a(1 - a/p) = a(p - a)/p достигается при a = p/2; он равен p/4. Остается заметить, что существует треугольник периметра 2p со стороной a = p/2 (положим b = c = 3p/4).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	1
Название	Треугольник
Тема	Экстремальные свойства треугольника (прочее)
задача
Номер	11.006