Условие
В данный треугольник поместите центрально симметричный
многоугольник наибольшей площади.
Решение
Пусть O — центр симметрии многоугольника M, расположенного
внутри треугольника T, S(T) — образ треугольника T при
симметрии относительно точки O. Тогда M лежит и в T, и в S(T).
Поэтому среди всех центрально симметричных многоугольников с данным
центром симметрии, лежащих в T, наибольшую площадь имеет
пересечение T и S(T). Точка O лежит внутри треугольника T,
так как пересечением T и S(T) является выпуклый многоугольник,
а выпуклый многоугольник всегда содержит свой центр симметрии.
Пусть A1, B1 и C1 — середины сторон BC, CA и AB
треугольника T = ABC. Предположим сначала, что точка O лежит
внутри треугольника A1B1C1. Тогда пересечением T и S(T)
является шестиугольник (рис.). Пусть сторона AB делится
сторонами треугольника S(T) в отношении x : y : z,
где x + y + z = 1. Тогда отношение суммы площадей заштрихованных
треугольников к площади треугольника ABC равно
x2 + y2 + z2;
нужно минимизировать это выражение. Так как
1 = (x + y + z)2 = 3(x2 + y2 + z2) - (x - y)2 - (y - z)2 - (z - x)2, то
x2 + y2 + z2
1/3,
причем равенство достигается только при x = y = z;
последнее равенство означает, что O — точка пересечения
медиан треугольника ABC.
Рассмотрим теперь другой случай: точка O лежит внутри одного из
треугольников AB1C1, A1BC1, A1B1C, например внутри
AB1C1. В этом случае пересечением T и S(T)
является параллелограмм, причем если мы заменим точку O точкой
пересечения прямых AO и B1C1, то площадь этого параллелограмма
может только увеличиться. Если же точка O лежит на стороне B1C1,
то этот случай уже фактически был нами рассмотрен (нужно положить
x = 0).
Искомым многоугольником является шестиугольник с вершинами в точках,
делящих стороны треугольника на три равные части. Его площадь равна
2/3 площади треугольника.
Источники и прецеденты использования
