ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57528
Тема:    [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Площадь треугольника ABC равна 1. Пусть A1, B1, C1 — середины сторон BC, CA, AB соответственно. На отрезках AB1, CA1, BC1 взяты точки K, L, M соответственно. Чему равна минимальная площадь общей части треугольников KLM и A1B1C1?

Решение

Обозначим точку пересечения прямых KM и BC через T, а точки пересечения сторон треугольников A1B1C1 и KLM так, как показано на рис. Тогда TL : RZ = KL : KZ = LC : ZB1. Так как TL$ \ge$BA1 = A1C$ \ge$LC, то RZ$ \ge$ZB1, т. е. SRZQ$ \ge$SZB1Q. Аналогично SQYP$ \ge$SYA1P и  SPXR$ \ge$SXC1R. Складывая все эти неравенства и неравенство SPQR$ \ge$ 0, получаем, что площадь шестиугольника PXRZQY не меньше площади оставшейся части треугольника A1B1C1, т. е. его площадь не меньше SA1B1C1/2 = 1/8. Равенство достигается, например, если точка K совпадает с B1, а точка M — с B.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 11
Название Задачи на максимум и минимум
Тема Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер 1
Название Треугольник
Тема Экстремальные свойства треугольника (прочее)
задача
Номер 11.008

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .