Условие
Площадь треугольника
ABC равна 1. Пусть
A1,
B1,
C1 — середины сторон
BC,
CA,
AB соответственно. На отрезках
AB1,
CA1,
BC1 взяты точки
K,
L,
M соответственно.
Чему равна минимальная площадь общей части треугольников
KLM
и
A1B1C1?
Решение
Обозначим точку пересечения прямых
KM и
BC через
T, а точки
пересечения сторон треугольников
A1B1C1 и
KLM так, как
показано на рис. Тогда
TL :
RZ =
KL :
KZ =
LC :
ZB1.
Так как
TL
BA1 =
A1CLC, то
RZZB1, т. е.
SRZQSZB1Q. Аналогично
SQYPSYA1P
и
SPXRSXC1R. Складывая все эти неравенства и неравенство
SPQR 0, получаем, что площадь шестиугольника
PXRZQY не меньше
площади оставшейся части треугольника
A1B1C1, т. е. его
площадь не меньше
SA1B1C1/2 = 1/8. Равенство достигается, например,
если точка
K совпадает с
B1, а точка
M — с
B.
Источники и прецеденты использования
