Условие
Площадь треугольника ABC равна 1. Пусть A1, B1, C1 — середины сторон BC, CA, AB соответственно. На отрезках
AB1, CA1, BC1 взяты точки K, L, M соответственно.
Чему равна минимальная площадь общей части треугольников KLM
и A1B1C1?
Решение
Обозначим точку пересечения прямых KM и BC через T, а точки
пересечения сторон треугольников A1B1C1 и KLM так, как
показано на рис. Тогда
TL : RZ = KL : KZ = LC : ZB1.
Так как
TL
BA1 = A1CLC, то
RZZB1, т. е.
SRZQSZB1Q. Аналогично
SQYPSYA1P
и
SPXRSXC1R. Складывая все эти неравенства и неравенство
SPQR 0, получаем, что площадь шестиугольника PXRZQY не меньше
площади оставшейся части треугольника A1B1C1, т. е. его
площадь не меньше
SA1B1C1/2 = 1/8. Равенство достигается, например,
если точка K совпадает с B1, а точка M — с B.
Источники и прецеденты использования
