Задача 57531

Темы:    [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Условие

Докажите, что если α, β, γ и α₁, β₁, γ₁ – углы двух треугольников, то   ^{cos α₁}/_{sin α} + ^{cos β₁}/_{sin β} + ^{cos γ₁}/_{sin γ} ≤ ctg α + ctg β + ctg γ.

Решение

Фиксируем углы α, β и γ. Пусть A₁B₁C₁ – треугольник с углами α₁, β₁ и γ₁. Рассмотрим векторы  a, b и c, сонаправленные с векторами , и и имеющие длины
sin α, sin β и sin γ. Тогда   ^{cos α₁}/_{sin α} + ^{cos β₁}/_{sin β} + ^{cos γ₁}/_{sin γ} = – ^{(a, b) + (b, c) + (c, a)}/_{sin α sin β sin γ}.   А так как   2((a, b) + (b, c) + (c, a)) = |a + b + c|² – |a|² – |b|² – |c|²,  то величина
(a, b) + (b, c) + (c, a)  минимальна, когда  a + b + c = 0,  то есть  α₁ = α,  β₁ = β, γ₁ = γ.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	1
Название	Треугольник
Тема	Экстремальные свойства треугольника (прочее)
задача
Номер	11.011