Информация о задаче

Задача 57531

Тема:

[

Экстремальные свойства треугольника (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ и $\alpha_{1}^{}$ , $\beta_{1}^{}$ , $\gamma_{1}^{}$ — углы двух треугольников, то

$\displaystyle {\frac{\cos\alpha _1}{\sin\alpha }}$ + $\displaystyle {\frac{\cos\beta _1}{\sin\beta }}$ + $\displaystyle {\frac{\cos\gamma _1}{\sin\gamma }}$ $\displaystyle \le$ ctg $\displaystyle \alpha$ + ctg $\displaystyle \beta$ + ctg $\displaystyle \gamma$ .

Решение

Фиксируем углы $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ . Пусть A₁B₁C₁ — треугольник с углами $\alpha_{1}^{}$ , $\beta_{1}^{}$ и $\gamma_{1}^{}$ . Рассмотрим векторы a, b и c, сонаправленные с векторами $\overrightarrow{B_1C_1}$ , $\overrightarrow{C_1A_1}$ и $\overrightarrow{A_1B_1}$ и имеющие длины sin $\alpha$ , sin $\beta$ и sin $\gamma$ . Тогда ${\frac{\cos\alpha _1}{\sin\alpha }}$ + ${\frac{\cos\beta _1}{\sin\beta }}$ + ${\frac{\cos\gamma _1}{\sin\gamma }}$ = -[(a,b)+(b,c)+(c,a)]/(sin $\alpha$ sin $\beta$ sin $\gamma$ ). А так как 2[(a,b) + (b,c) + (c,a)] = |a+b+c|² - |a|² - |b|² - |c|², то величина (a,b) + (b,c) + (c,a) минимальна, когда a + b + c = 0, т. е. $\alpha_{1}^{}$ = $\alpha$ , $\beta_{1}^{}$ = $\beta$ , $\gamma_{1}^{}$ = $\gamma$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	1
Название	Треугольник
Тема	Экстремальные свойства треугольника (прочее)
задача
Номер	11.011