ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57532
Темы:    [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
[ Подобные треугольники (прочее) ]
[ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть a, b и c – длины сторон треугольника площади S; α1, β1 и γ1 – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что
a² ctg α1 + b² ctg β1 + c² ctg γ1 ≥ 4S,  причём равенство достигается, только когда рассматриваемые треугольники подобны.


Решение

  Пусть  x = ctg α1  и  y = ctg β1.  Тогда  x + y > 0  (так как  α1 + β1  < π  и     Поэтому     При фиксированном x это выражение минимально при таком y, что     то есть  
  Аналогичные рассуждения показывают, что если  a : b : c = sin α1 : sin β1 : sin γ1,  то рассматриваемое выражение минимально. В этом случае треугольники подобны и  a² ctg α + b² ctg β + c² ctg γ = 4S  (см. задачу 57627, б)).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 11
Название Задачи на максимум и минимум
Тема Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер 1
Название Треугольник
Тема Экстремальные свойства треугольника (прочее)
задача
Номер 11.012

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .