Треугольник ABC вписан в окружность. Точка D — середина дуги AC, точки K и L выбраны на сторонах AB и CB соответственно так, что KL параллельна AC. Пусть K' и L' — точки пересечения прямых DK и DL соответственно с окружностью. Докажите, что вокруг четырехугольника KLL'K' можно описать окружность.

   Решение

Темы:    [ Экстремальные точки треугольника ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка X, M и N – её проекции на катеты AC и BC.
  а) При каком положении точки X длина отрезка MN будет наименьшей?
  б) При каком положении точки X площадь четырёхугольника CMXN будет наибольшей?

Решение

  а) Так как CMXN – прямоугольник, то  MN = CX.  Поэтому длина отрезка MN будет наименьшей, если CX – высота.

  б) Пусть  S_ABC = S.  Тогда     и     Поскольку  AX² + BX² ≥ ½ AB²  (причём равенство достигается, только когда X – середина отрезка AB), то  S_CMXN = S – S_AMX – S_BNX ≤ ^S/₂.

Ответ

а) Когда X – основание высоты.
б) Когда X – середина отрезка AB.

Источники и прецеденты использования