Задача 57536
|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой
сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM
была бы наименьшей.
Решение
По теореме синусов радиусы описанных окружностей треугольников
ACM и BCM равны
AC/(2 sin AMC) и
BC/(2 sin BMC) соответственно.
Легко проверить, что
sin AMC = sin BMC. Поэтому
AC/(2 sin AMC) + BC/(2 sin BMC) = (AC+BC)/(2 sin BMC). Последнее выражение будет
наименьшим, если
sin BMC = 1, т. е.
CM AB.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 30 |
| Год | 1967 |
| вариант | |
| 1 | |
| Класс | 9 |
| Тур | 1 |
| задача | |
| Номер | 3 |
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 30 |
| Год | 1967 |
| вариант | |
| 1 | |
| Класс | 8 |
| Тур | 1 |
| задача | |
| Номер | 2 |
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 11 |
| Название | Задачи на максимум и минимум |
| Тема | Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. |
| параграф | |
| Номер | 2 |
| Название | Экстремальные точки треугольника |
| Тема | Экстремальные точки треугольника |
| задача | |
| Номер | 11.016 |
