Дана равнобокая трапеция $ABCD$ ($AB=CD$). На описанной около неё окружности выбирается точка $P$ так, что отрезок $CP$ пересекает основание $AD$ в точке $Q$. Пусть $L$ – середина $QD$. Докажите, что длина диагонали трапеции не превосходит суммы расстояний от середин её боковых сторон до любой точки прямой $PL$.

   Решение

Темы:    [ Экстремальные точки треугольника ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM была бы наименьшей.

Решение

По теореме синусов радиусы описанных окружностей треугольников ACM и BCM равны AC/(2 sin AMC) и BC/(2 sin BMC) соответственно. Легко проверить, что sin AMC = sin BMC. Поэтому AC/(2 sin AMC) + BC/(2 sin BMC) = (AC+BC)/(2 sin BMC). Последнее выражение будет наименьшим, если sin BMC = 1, т. е. CM AB.

Источники и прецеденты использования