В таблице 10×10 записано 100 различных чисел. За ход можно выбрать любой составленный из клеток прямоугольник и переставить все числа в нём симметрично относительно его центра ("повернуть прямоугольник на 180°"). Всегда ли за 99 ходов можно добиться, чтобы числа возрастали в каждой строке слева направо и в каждом столбце – снизу вверх?

   Решение

Темы:    [ Экстремальные точки треугольника ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM была бы наименьшей.

Решение

По теореме синусов радиусы описанных окружностей треугольников ACM и BCM равны AC/(2 sin AMC) и BC/(2 sin BMC) соответственно. Легко проверить, что sin AMC = sin BMC. Поэтому AC/(2 sin AMC) + BC/(2 sin BMC) = (AC+BC)/(2 sin BMC). Последнее выражение будет наименьшим, если sin BMC = 1, т. е. CM AB.

Источники и прецеденты использования