10 друзей послали друг другу праздничные открытки, так что каждый послал пять открыток.
Докажите, что найдутся двое, которые послали открытки друг другу.

   Решение

Тема:    [ Четырехугольники (экстремальные свойства) ]

Сложность: 3 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Какую наименьшую площадь может иметь этот четырехугольник, если площадь треугольника AOB равна 4, а площадь треугольника COD равна 9?

Решение

Так как S_AOB : S_BOC = AO : OC = S_AOD : S_DOC, то S_BOC ^. S_AOD = S_AOB ^. S_DOC = 36. Следовательно, S_BOC + S_AOD2 = 12, причем равенство достигается, если S_BOC = S_AOD, т. е. S_ABC = S_ABD, откуда AB| CD. При этом площадь четырехугольника равна 4 + 9 + 12 = 25.

Источники и прецеденты использования