Информация о задаче

Задача 57552

Тема:

[

Четырехугольники (экстремальные свойства)

]

Сложность: 3
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Площадь трапеции равна 1. Какую наименьшую величину может иметь наибольшая диагональ этой трапеции?

Решение

Длины диагоналей трапеции обозначим через d₁ и d₂, длины их проекций на основание — через p₁ и p₂, длины оснований — через a и b, высоту — через h. Пусть для определенности d₁ $\ge$ d₂. Тогда p₁ $\ge$ p₂. Ясно, что p₁ + p₂ $\ge$ a + b. Поэтому p₁ $\ge$ (a + b)/2 = S/h = 1/h. Следовательно, d₁² = p₁² + h² $\ge$ ${\frac{1}{h^2}}$ + h² $\ge$ 2, причем равенство достигается, только если p₁ = p₂ = h = 1. При этом d₁ = $\sqrt{2}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	4
Название	Четырехугольники
Тема	Четырехугольники (экстремальные свойства)
задача
Номер	11.032