ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57552
Тема:    [ Четырехугольники (экстремальные свойства) ]
Сложность: 3
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Площадь трапеции равна 1. Какую наименьшую величину может иметь наибольшая диагональ этой трапеции?

Решение

Длины диагоналей трапеции обозначим через d1 и d2, длины их проекций на основание — через p1 и p2, длины оснований — через a и b, высоту — через h. Пусть для определенности d1$ \ge$d2. Тогда p1$ \ge$p2. Ясно, что p1 + p2$ \ge$a + b. Поэтому p1$ \ge$(a + b)/2 = S/h = 1/h. Следовательно, d12 = p12 + h2$ \ge$$ {\frac{1}{h^2}}$ + h2$ \ge$2, причем равенство достигается, только если p1 = p2 = h = 1. При этом d1 = $ \sqrt{2}$.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 11
Название Задачи на максимум и минимум
Тема Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер 4
Название Четырехугольники
Тема Четырехугольники (экстремальные свойства)
задача
Номер 11.032

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .