ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57553
Тема:    [ Четырехугольники (экстремальные свойства) ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На основании AD трапеции ABCD дана точка K. Найдите на основании BC точку M, для которой площадь общей части треугольников AMD и BKC максимальна.

Решение

Докажем, что искомой точкой является точка M, делящая сторону BC в отношении BM : MC = AK : KD. Обозначим точки пересечения отрезков AM и BK, DM и CK через P, Q соответственно. Тогда KQ : QC = KD : MC = KA : MB = KP : PB, т. е. прямая PQ параллельна основаниям трапеции.
Пусть M1 — любая другая точка на стороне BC. Для определенности можно считать, что M1 лежит на отрезке BM. Обозначим точки пересечения AM1 и BK, DM1 и CK, AM1 и PQ, DM1 и PQ, AM и DM1 через P1, Q1, P2, Q2, O соответственно (рис.). Нужно доказать, что SMPKQ > SM1P1KQ1, т. е. SMOQ1Q > SM1OPP1. Ясно, что SMOQ1Q > SMOQ2Q = SM1OPP2 > SM1OPP1.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 11
Название Задачи на максимум и минимум
Тема Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер 4
Название Четырехугольники
Тема Четырехугольники (экстремальные свойства)
задача
Номер 11.033

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .