Условие
На основании AD трапеции ABCD дана точка K. Найдите на основании
BC точку M, для которой площадь общей части треугольников
AMD и BKC максимальна.
Решение
Докажем, что искомой точкой является точка M, делящая сторону
BC в отношении
BM : MC = AK : KD. Обозначим точки
пересечения отрезков AM и BK, DM и CK через P, Q
соответственно. Тогда
KQ : QC = KD : MC = KA : MB = KP : PB, т. е. прямая PQ параллельна основаниям трапеции.
Пусть M1 — любая другая точка на стороне BC. Для
определенности можно считать, что M1 лежит на отрезке BM.
Обозначим точки пересечения AM1 и BK, DM1 и CK, AM1
и PQ, DM1 и PQ, AM и DM1 через P1, Q1, P2,
Q2, O соответственно (рис.). Нужно доказать, что
SMPKQ > SM1P1KQ1, т. е.
SMOQ1Q > SM1OPP1.
Ясно, что
SMOQ1Q > SMOQ2Q = SM1OPP2 > SM1OPP1.
Источники и прецеденты использования
