Условие
На основании
AD трапеции
ABCD дана точка
K. Найдите на основании
BC точку
M, для которой площадь общей части треугольников
AMD и
BKC максимальна.
Решение
Докажем, что искомой точкой является точка
M, делящая сторону
BC в отношении
BM :
MC =
AK :
KD. Обозначим точки
пересечения отрезков
AM и
BK,
DM и
CK через
P,
Q
соответственно. Тогда
KQ :
QC =
KD :
MC =
KA :
MB =
KP :
PB, т. е. прямая
PQ параллельна основаниям трапеции.
Пусть
M1 — любая другая точка на стороне
BC. Для
определенности можно считать, что
M1 лежит на отрезке
BM.
Обозначим точки пересечения
AM1 и
BK,
DM1 и
CK,
AM1
и
PQ,
DM1 и
PQ,
AM и
DM1 через
P1,
Q1,
P2,
Q2,
O соответственно (рис.). Нужно доказать, что
SMPKQ >
SM1P1KQ1, т. е.
SMOQ1Q >
SM1OPP1.
Ясно, что
SMOQ1Q >
SMOQ2Q =
SM1OPP2 >
SM1OPP1.
Источники и прецеденты использования
