Задача 57556

Тема:    [ Многоугольники (экстремальные свойства) ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Среди всех многоугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.

Решение

Если в треугольнике ABC угол B тупой или прямой, то по теореме косинусов AC²AB² + BC². Поэтому, если в многоугольнике угол при вершине B не острый, то, выбросив вершину B, получим многоугольник с не меньшей суммой квадратов длин сторон. Так как у любого n-угольника при n3 есть неострый угол, с помощью такой операции мы приходим к треугольнику. Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, наибольшую сумму квадратов длин сторон имеет правильный треугольник (см. задачу 11.5).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	5
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники (экстремальные свойства)
задача
Номер	11.036