Дан выпуклый многоугольник A₁...A_n. Докажите, что точка многоугольника, для которой максимальна сумма расстояний от нее до всех вершин, является вершиной.

   Решение

Тема:    [ Многоугольники (экстремальные свойства) ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый многоугольник A₁...A_n. Докажите, что точка многоугольника, для которой максимальна сумма расстояний от нее до всех вершин, является вершиной.

Решение

Если точка X делит некоторый отрезок PQ в отношении : (1 - ), то = (1 - ) + , а значит A_iX(1 - )A_iP + A_iQ. Следовательно, f (X) = A_iX(1 - )A_iP + A_iQ = (1 - )f (P) + f (Q). Пусть, например, f (P)f (Q); тогда f (X)f (Q). Поэтому функция f на отрезке PQ принимает максимальное значение в одном из его концов; точнее говоря, внутри отрезка не может быть точки строгого максимума функции f. Следовательно, если X — любая точка многоугольника, то f (X)f (Y), где Y — некоторая точка стороны многоугольника, а f (Y)f (Z), где Z — некоторая вершина.

Источники и прецеденты использования