Задача 57558

Тема:    [ Экстремальные свойства (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Внутри окружности с центром O дана точка A. Найдите точку M окружности, для которой угол OMA максимален.

Решение

Геометрическое место точек X, для которых угол OXA постоянен, состоит их двух симметричных относительно прямой OA дуг окружностей S₁ и S₂. Рассмотрим тот случай, когда диаметр окружностей S₁ и S₂ равен радиусу исходной окружности, т. е. эти окружности касаются исходной окружности в точках M₁ и M₂, для которых OAM₁ = OAM₂ = 90^o. Точки M₁ и M₂ являются искомыми, так как если OXA > OM₁A = OM₂A, то точка X лежит строго внутри фигуры, образованной окружностями S₁ и S₂, т. е. не может лежать на исходной окружности.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Экстремальные свойства (прочее)
задача
Номер	11.038