Задача 57565

Тема:    [ Экстремальные свойства (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Какое наибольшее число точек можно поместить на отрезке длиной 1 так, чтобы на любом отрезке длиной d, содержащемся в этом отрезке, лежало не больше 1 + 1000d² точек?

Решение

Докажем сначала, что 33 точки разместить таким образом нельзя. Действительно, если на отрезке длиной 1 находятся 33 точки, то расстояние между какими-нибудь двумя из них не превосходит 1/32. Отрезок с концами в этих точках содержит две точки, а он должен содержать не более 1 + 1000/32² точек, т. е. менее двух точек.
Докажем теперь, что 32 точки разместить можно. Возьмем 32 точки, делящие отрезок на равные части (концы данного отрезка входят в число этих 32 точек). Тогда отрезок длиной d содержит либо [31d], либо [31d] + 1 точек. Нужно доказать, что [31d]1000d². Если 31d < 1, то [31d] = 0 < 1000d². Если 31d1, то [31d]31d(31d )² = 961d² < 1000d².
римечание [x] — целая часть числа x, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее x.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Экстремальные свойства (прочее)
задача
Номер	11.045