Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Володя бежит по круговой дистанции с постоянной скоростью. В двух точках дистанции стоит по фотографу. После старта Володя 2 минуты был ближе к первому фотографу, затем 3 минуты – ближе ко второму фотографу, а потом снова ближе к первому. За какое время Володя пробежал весь круг?
Точка H – ортоцентр треугольника ABC. Касательные, проведённые к описанным окружностям треугольников CHB и AHB в точке H, пересекают прямую AC в точках A1 и C1 соответственно. Докажите, что A1H = C1H.
Треугольники ABC1 и ABC2 имеют общее основание AB и
AC1B =
AC2B. Докажите, что если
| AC1 - C1B| < | AC2 - C2B|, то:
а) площадь треугольника ABC1 больше площади треугольника ABC2;
б) периметр треугольника ABC1 больше периметра треугольника ABC2.
|
|
 |
Условие
Треугольники ABC1 и ABC2 имеют общее основание AB и
AC1B =
AC2B. Докажите, что если
| AC1 - C1B| < | AC2 - C2B|, то:
а) площадь треугольника ABC1 больше площади треугольника ABC2;
б) периметр треугольника ABC1 больше периметра треугольника ABC2.
Решение
Стороны треугольника ABC пропорциональны
sin, sin
и
sin
. Если угол
фиксирован, то величина
| sin
- sin
| = 2| sin((
-
)/2)sin(
/2)| тем больше, чем больше
величина
= |
-
|. Остается заметить, что величины
S = 2R2sin
sin
sin
= R2sin
(cos(
-
) + cos
) = R2sin
(cos
+ cos
) и
sin
+ sin
= 2 cos(
/2)cos(
/2) монотонно убывают при возрастании
.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 11 |
| Название | Задачи на максимум и минимум |
| Тема | Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. |
| параграф | |
| Номер | 7 |
| Название | Экстремальные свойства правильных многоугольников |
| Тема | Экстремальные свойства правильных многоугольников |
| задача | |
| Номер | 11.047 |
