Условие
В остроугольном треугольнике
ABC проведены
высоты
AA1 и
CC1. Точки
A2 и
C2 симметричны
A1 и
C1
относительно середин сторон
BC и
AB. Докажите, что прямая,
соединяющая вершину
B с центром
O описанной окружности, делит
отрезок
A2C2 пополам.
Решение
Пусть $AC = b$, $\angle BAC = \alpha$, $\angle BCA = \gamma$. Тогда в треугольнике $A_2BC_2$ длины сторон $A_2B$ и $BC_2$ равны $b \cos \gamma$ и $b \cos \alpha$;
прямая $BO$ делит угол $A_2BC_2$ на углы $90^{\circ}-\gamma$ и $90^{\circ}-\alpha$. Пусть прямая $BO$ пересекает отрезок $A_2C_2$ в точке $M$. По теореме синусов
$$A_2M= \frac{A_2B \sin A_2BM}{\sin A_2MB}=\frac{b\cos\gamma \cos\alpha}{\sin C_2MB}=\frac{С_2B \sin С_2BM}{\sin С_2MB}=C_2M.$$
Источники и прецеденты использования
