Задача 57586

Тема:    [ Теорема синусов ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Точки A₂ и C₂ симметричны A₁ и C₁ относительно середин сторон BC и AB. Докажите, что прямая, соединяющая вершину B с центром O описанной окружности, делит отрезок A₂C₂ пополам.

Решение

Пусть $AC = b$, $\angle BAC = \alpha$, $\angle BCA = \gamma$. Тогда в треугольнике $A_2BC_2$ длины сторон $A_2B$ и $BC_2$ равны $b \cos \gamma$ и $b \cos \alpha$; прямая $BO$ делит угол $A_2BC_2$ на углы $90^{\circ}-\gamma$ и $90^{\circ}-\alpha$. Пусть прямая $BO$ пересекает отрезок $A_2C_2$ в точке $M$. По теореме синусов $$A_2M= \frac{A_2B \sin A_2BM}{\sin A_2MB}=\frac{b\cos\gamma \cos\alpha}{\sin C_2MB}=\frac{С_2B \sin С_2BM}{\sin С_2MB}=C_2M.$$

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	1
Название	Теорема синусов
Тема	Теорема синусов
задача
Номер	12.005