ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57595
Тема:    [ Теорема косинусов ]
Сложность: 3
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Длины сторон параллелограмма равны a и b, длины диагоналей — m и n. Докажите, что  a4 + b4 = m2n2 тогда и только тогда, когда острый угол параллелограмма равен  45o.

Решение

Пусть $ \alpha$ — угол при вершине параллелограмма. По теореме косинусов m2 = a2 + b2 + 2ab cos$ \alpha$ и n2 = a2 + b2 - 2ab cos$ \alpha$. Поэтому m2n2 = (a2 + b2)2 - (2ab cos$ \alpha$)2 = a4 + b4 + 2a2b2(1 - 2 cos2$ \alpha$). Значит, m2n2 = a4 + b4 тогда и только тогда, когда cos2$ \alpha$ = 1/2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 12
Название Вычисления и метрические соотношения
Тема Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер 2
Название Теорема косинусов
Тема Теорема синусов
задача
Номер 12.014

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .