Задача 57595

Тема:    [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Длины сторон параллелограмма равны a и b, длины диагоналей — m и n. Докажите, что  a⁴ + b⁴ = m²n² тогда и только тогда, когда острый угол параллелограмма равен  45^o.

Решение

Пусть  — угол при вершине параллелограмма. По теореме косинусов m² = a² + b² + 2ab cos и n² = a² + b² - 2ab cos. Поэтому m²n² = (a² + b²)² - (2ab cos)² = a⁴ + b⁴ + 2a²b²(1 - 2 cos²). Значит, m²n² = a⁴ + b⁴ тогда и только тогда, когда cos² = 1/2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	2
Название	Теорема косинусов
Тема	Теорема синусов
задача
Номер	12.014