Задача 57597

Тема:    [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Условие

Пусть O — центр описанной окружности (неправильного) треугольника ABC, M — точка пересечения медиан. Докажите, что прямая OM перпендикулярна медиане CC₁ тогда и только тогда, когда  a² + b² = 2c².

Решение

Пусть m = C₁M и = C₁MO. Тогда OC₁² = C₁M² + OM² - 2OM ^. C₁M cos и BO² = CO² = OM² + MC² + 2OM ^. CM cos = OM² + 4C₁M² + 4OM ^. C₁M cos. Поэтому BC₁² = BO² - OC₁² = 3C₁M² + 6OM ^. C₁M cos, т. е. c² = 4BC₁² = 12m² + 24OM ^. C₁M cos. Ясно также, что 18m² = 2m_c² = a² + b² - c²/2 (см. задачу 12.21). Поэтому равенство a² + b² = 2c² эквивалентно тому, что 18m² = 3c²/2, т. е. c² = 12m². Так как c² = 12m² + 24OM ^. C₁M cos, равенство a² + b² = 2c² эквивалентно тому, что C₁MO = = 90^o, т. е. CC₁ OM.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	2
Название	Теорема косинусов
Тема	Теорема синусов
задача
Номер	12.016