Задача 57600

Тема:    [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]

Сложность: 2+ Классы: 9

Условие

Докажите, что:
а)  rp = r_a(p - a), rr_a = (p - b)(p - c) и  r_br_c = p(p - a);
б)  S² = p(p - a)(p - b)(p - c)     (формула Герона);
в)  S² = rr_ar_br_c.

Решение

а) Согласно задаче 12.17 p = r_actg(/2) и rctg(/2) = p - a; rctg(/2) = p - b и r_atg(/2) = p - c; r_ctg(/2) = p - a и  r_bctg(/2) = p. Перемножая эти пары равенств, получаем требуемое.
б) Перемножая равенства rp = r_a(p - a) и rr_a = (p - b)(p - c), получаем r²p = (p-a)(p-b)(p-c). Ясно также, что S² = p(r²p).
в) Достаточно перемножить равенства rr_a = (p - b)(p - c) и r_br_c = p(p - a) и воспользоваться формулой Герона.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	3
Название	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы
Тема	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы
задача
Номер	12.018