ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57613
Тема:    [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
Сложность: 2+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что abc = 4prR и  ab + bc + ca = r2 + p2 + 4rR.

Решение

Ясно, что  2pr = 2S = ab sin$ \gamma$ = abc/2R, т. е. 4prR = abc. Для доказательства второго равенства воспользуемся формулой Герона:  S2 = p(p - a)(p - b)(p - c), т. е.  pr2 = (p - a)(p - b)(p - c) = p3 - p2(a + b + c) + p(ab + bc + ca) - abc = - p3 + p(ab + bc + ca) - 4prR. Сокращая на p, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 12
Название Вычисления и метрические соотношения
Тема Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер 4
Название Длины сторон, высоты, биссектрисы
Тема Длины сторон, высот, медиан и биссектрис
задача
Номер 12.030

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .