Задача 57613

Тема:    [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]

Сложность: 2+ Классы: 9

Условие

Докажите, что abc = 4prR и  ab + bc + ca = r² + p² + 4rR.

Решение

Ясно, что  2pr = 2S = ab sin = abc/2R, т. е. 4prR = abc. Для доказательства второго равенства воспользуемся формулой Герона:  S² = p(p - a)(p - b)(p - c), т. е.  pr² = (p - a)(p - b)(p - c) = p³ - p²(a + b + c) + p(ab + bc + ca) - abc = - p³ + p(ab + bc + ca) - 4prR. Сокращая на p, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	4
Название	Длины сторон, высоты, биссектрисы
Тема	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис
задача
Номер	12.030