Информация о задаче

Задача 57617

Тема:

[

Длины сторон, высот, медиан и биссектрис

]

Сложность: 3
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что

$\begin{multline*} h_a=2(p-a)\cos(\beta /2)\cos(\gamma /2)/\cos(\alpha /2)=\\ =2(p-b)\sin(\beta /2)\cos(\gamma /2)/\sin(\alpha /2). \end{multline*}$

Решение

Так как ah_a = 2S = 2(p - a)r_a и r_a/a = cos( $\beta$ /2)cos( $\gamma$ /2)/cos( $\alpha$ /2) (задача 12.17, б)), то h_a = 2(p - a)cos( $\beta$ /2)cos( $\gamma$ /2)/cos( $\alpha$ /2). Учитывая, что (p - a)ctg( $\beta$ /2) = r_c = (p - b)ctg( $\alpha$ /2) (задача 12.17, в)), получаем h_a = 2(p - b)sin( $\beta$ /2)cos( $\gamma$ /2)/sin( $\alpha$ /2).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	4
Название	Длины сторон, высоты, биссектрисы
Тема	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис
задача
Номер	12.034