Информация о задаче

Задача 57618

Тема:

[

Длины сторон, высот, медиан и биссектрис

]

Сложность: 3
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что длину биссектрисы l_a можно вычислить по следующим формулам:
а) l_a = $\sqrt{4p(p-a)bc/(b+c)^2}$ ;
б) l_a = 2bc cos( $\alpha$ /2)/(b + c);
в) l_a = 2R sin $\beta$ sin $\gamma$ /cos(( $\beta$ - $\gamma$ )/2);
г) l_a = 4p sin( $\beta$ /2)sin( $\gamma$ /2)/(sin $\beta$ + sin $\gamma$ ).

Решение

а) Пусть продолжение биссектрисы AD пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке M. Тогда AD^.DM = BD^.DC и, так как $\triangle$ ABD $\sim$ $\triangle$ AMC, AB^.AC = AD^.AM = AD(AD + DM) = AD² + BD^.DC. Кроме того, BD = ac/(b + c) и DC = ab/(b + c). Значит, AD² = bc - bca²/(b + c)² = 4p(p - a)bc/(b + c)².
б) См. решение задачи 4.47.
в) Пусть AD — биссектриса, AH — высота треугольника ABC. Тогда AH = c sin $\beta$ = 2R sin $\beta$ sin $\gamma$ . С другой стороны, AH = AD sin ADH = l_asin( $\beta$ + ( $\alpha$ /2)) = l_asin(( $\pi$ + $\beta$ - $\gamma$ )/2) = l_acos(( $\beta$ - $\gamma$ )/2).
г) Учитывая, что p = 4R cos( $\alpha$ /2)cos( $\beta$ /2)cos( $\gamma$ /2) (задача 12.36, в) и sin $\beta$ + sin $\gamma$ = 2 sin(( $\beta$ + $\gamma$ )/2)cos(( $\beta$ - $\gamma$ )/2) = 2 cos( $\alpha$ /2)cos(( $\beta$ - $\gamma$ )/2), приходим к формуле задачи в).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	4
Название	Длины сторон, высоты, биссектрисы
Тема	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис
задача
Номер	12.035