Информация о задаче

Задача 57620

Тема:

[

Синусы и косинусы углов треугольника

]

Сложность: 2+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а) cos( $\alpha$ /2)sin( $\beta$ /2)sin( $\gamma$ /2) = (p - a)/4R;
б) sin( $\alpha$ /2)cos( $\beta$ /2)cos( $\gamma$ /2) = r_a/4R.

Решение

а) Перемножая равенства

r cos( $\displaystyle \alpha$ /2)sin( $\displaystyle \alpha$ /2) = p - a, sin( $\displaystyle \alpha$ /2)sin( $\displaystyle \beta$ /2)sin( $\displaystyle \gamma$ /2) = r/4R

(см. задачи 12.17, в) и 12.36, а)), получаем требуемое.
б) Согласно задаче 12.17, в) r_atg( $\gamma$ /2) = p - b = rctg( $\beta$ /2). Умножая это равенство на равенство r/4R = sin( $\alpha$ /2)sin( $\beta$ /2)sin( $\gamma$ /2), получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	5
Название	Синусы и косинусы углов треугольника
Тема	Синусы и косинусы углов треугольника
задача
Номер	12.037