Информация о задаче

Задача 57623

Тема:

[

Синусы и косинусы углов треугольника

]

Сложность: 3
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
sin 2 $\alpha$ + sin 2 $\beta$ + sin 2 $\gamma$ = 4 sin $\alpha$ sin $\beta$ sin $\gamma$ .

Решение

Складывая равенства sin 2 $\alpha$ + sin 2 $\beta$ = 2 sin( $\alpha$ + $\beta$ )cos( $\alpha$ - $\beta$ ) = 2 sin $\gamma$ ×cos( $\alpha$ - $\beta$ ) и sin 2 $\gamma$ = 2 sin $\gamma$ cos $\gamma$ = - 2 sin $\gamma$ cos( $\alpha$ + $\beta$ ) и учитывая, что cos( $\alpha$ - $\beta$ ) - cos( $\alpha$ + $\beta$ ) = 2 sin $\alpha$ sin $\beta$ , получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	5
Название	Синусы и косинусы углов треугольника
Тема	Синусы и косинусы углов треугольника
задача
Номер	12.040