Информация о задаче

Задача 57631

Тема:

[

Тангенсы и котангенсы углов треугольника

]

Сложность: 4
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а) ctg $\alpha$ ctg $\beta$ + ctg $\beta$ ctg $\gamma$ + ctg $\alpha$ ctg $\gamma$ = 1;
б) ctg $\alpha$ + ctg $\beta$ + ctg $\gamma$ - ctg $\alpha$ ctg $\beta$ ctg $\gamma$ = 1/(sin $\alpha$ sin $\beta$ sin $\gamma$ ).

Решение

а) Домножим обе части равенства на sin $\alpha$ sin $\beta$ sin $\gamma$ . Дальнейший ход доказательства таков: cos $\gamma$ (sin $\alpha$ cos $\beta$ + sin $\beta$ cos $\alpha$ ) + sin $\gamma$ (cos $\alpha$ cos $\beta$ - sin $\alpha$ sin $\beta$ ) = cos $\gamma$ sin( $\alpha$ + $\beta$ ) + sin $\gamma$ cos( $\alpha$ + $\beta$ ) = cos $\gamma$ sin $\gamma$ - sin $\gamma$ cos $\gamma$ = 0.
б) Домножим обе части равенства на sin $\alpha$ sin $\beta$ sin $\gamma$ . Дальнейший ход доказательства таков: cos $\alpha$ (sin $\beta$ sin $\gamma$ - cos $\beta$ cos $\gamma$ ) + sin $\alpha$ (cos $\beta$ sin $\gamma$ + cos $\gamma$ sin $\beta$ ) = cos² $\alpha$ + sin² $\alpha$ = 1.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	6
Название	Тангенсы и котангенсы углов треугольника
Тема	Тангенсы и котангенсы углов треугольника
задача
Номер	12.048