ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57631
Тема:    [ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  ctg$ \alpha$ctg$ \beta$ + ctg$ \beta$ctg$ \gamma$ + ctg$ \alpha$ctg$ \gamma$ = 1;
б)  ctg$ \alpha$ + ctg$ \beta$ + ctg$ \gamma$ - ctg$ \alpha$ctg$ \beta$ctg$ \gamma$ = 1/(sin$ \alpha$sin$ \beta$sin$ \gamma$).

Решение

а) Домножим обе части равенства на  sin$ \alpha$sin$ \beta$sin$ \gamma$. Дальнейший ход доказательства таков:  cos$ \gamma$(sin$ \alpha$cos$ \beta$ + sin$ \beta$cos$ \alpha$) + sin$ \gamma$(cos$ \alpha$cos$ \beta$ - sin$ \alpha$sin$ \beta$) = cos$ \gamma$sin($ \alpha$ + $ \beta$) + sin$ \gamma$cos($ \alpha$ + $ \beta$) = cos$ \gamma$sin$ \gamma$ - sin$ \gamma$cos$ \gamma$ = 0.
б) Домножим обе части равенства на  sin$ \alpha$sin$ \beta$sin$ \gamma$. Дальнейший ход доказательства таков:  cos$ \alpha$(sin$ \beta$sin$ \gamma$ - cos$ \beta$cos$ \gamma$) + sin$ \alpha$(cos$ \beta$sin$ \gamma$ + cos$ \gamma$sin$ \beta$) = cos2$ \alpha$ + sin2$ \alpha$ = 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 12
Название Вычисления и метрические соотношения
Тема Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер 6
Название Тангенсы и котангенсы углов треугольника
Тема Тангенсы и котангенсы углов треугольника
задача
Номер 12.048

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .