Задача 57638

Тема:    [ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A на высоте AD как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону AB в точке K и сторону AC в точке M. Отрезки AD и KM пересекаются в точке L. Найдите острые углы треугольника ABC, если известно, что  AK : AL = AL : AM.

Решение

Ясно, что AKDM — прямоугольник и L — точка пересечения его диагоналей. Так как  AD BC и  AM BA, то  DAM = ABC. Аналогично,  KAD = ACB. Опустим из точки A перпендикуляр AP на прямую KM. Пусть для определенности  B < C. Тогда точка P лежит на отрезке KL. Из подобия треугольников AKP и MKA получаем  AK : AP = MK : MA. Поэтому  AK ^. AM = AP ^. MK = AP ^. AD = 2AP ^. AL. По условию  AL² = AK ^. AM, следовательно, AL = 2AP, т. е.  ALP = 30^o. Ясно, что  KMA = ALP/2 = 15^o. Поэтому острые углы треугольника ABC равны 15 и  75^o.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	7
Название	Вычисление углов
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)
задача
Номер	12.055