Задача 57640

Тема:    [ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Условие

В треугольнике ABC проведена биссектриса BE и на стороне BC взята точка K так, что  AKB = 2AEB. Найдите величину угла AKE, если  AEB = .

Решение

Пусть  ABC = 2x, тогда внешний угол A треугольника ABE равен  ABE + AEB = x + . Далее,  KAE - BAK = (180^o - x - ) - (180^o - 2x - 2) = x + . Следовательно, AE — биссектриса внешнего угла A треугольника ABK. А так как BE — биссектриса внутреннего угла B этого треугольника, то E — центр его вневписанной окружности, касающейся стороны AK. Поэтому  AKE = AKC/2 = 90^o - .

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	7
Название	Вычисление углов
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)
задача
Номер	12.057