ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57651
Тема:    [ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ]
Сложность: 2
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите все треугольники, у которых углы образуют арифметическую прогрессию, а стороны: а) арифметическую прогрессию; б) геометрическую прогрессию.

Решение

Если углы треугольника образуют арифметическую прогрессию, то они равны  $ \alpha$ - $ \gamma$,$ \alpha$,$ \alpha$ + $ \gamma$, где  $ \gamma$ $ \geq$ 0. Так как сумма углов треугольника равна  180o, то  $ \alpha$ = 60o. Стороны этого треугольника равны  2R sin($ \alpha$-$ \gamma$), 2R sin$ \alpha$, 2R sin($ \alpha$+$ \gamma$). Поскольку против большего угла лежит большая сторона, то  sin($ \alpha$ - $ \gamma$) $ \leq$ sin$ \alpha$ $ \leq$ sin($ \alpha$ + $ \gamma$).
а) Если числа  sin($ \alpha$ - $ \gamma$) $ \leq$ sin$ \alpha$ $ \leq$ sin($ \alpha$ + $ \gamma$) образуют арифметическую прогрессию, то  sin$ \alpha$ = (sin($ \alpha$ + $ \gamma$) + sin($ \alpha$ - $ \gamma$))/2 = sin$ \alpha$cos$ \gamma$, т. е.  cos$ \gamma$ = 1, или $ \gamma$ = 0. Следовательно, все углы треугольника равны  60o.
б) Если числа  sin($ \alpha$ - $ \gamma$) $ \leq$ sin$ \alpha$ $ \leq$ sin($ \alpha$ + $ \gamma$) образуют геометрическую прогрессию, то  sin2$ \alpha$ = sin($ \alpha$ - $ \gamma$)sin($ \alpha$ + $ \gamma$) = sin2$ \alpha$cos2$ \gamma$ - sin2$ \gamma$cos2$ \alpha$ $ \leq$ sin2$ \alpha$cos2$ \gamma$. Поэтому  cos$ \gamma$ = 1, т. е. все углы треугольника равны  60o.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 12
Название Вычисления и метрические соотношения
Тема Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер 9
Название Разные задачи
Тема Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)
задача
Номер 12.068

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .