Информация о задаче

Задача 57651

Тема:

[

Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)

]

Сложность: 2
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Найдите все треугольники, у которых углы образуют арифметическую прогрессию, а стороны: а) арифметическую прогрессию; б) геометрическую прогрессию.

Решение

Если углы треугольника образуют арифметическую прогрессию, то они равны $\alpha$ - $\gamma$ , $\alpha$ , $\alpha$ + $\gamma$ , где $\gamma$ $\geq$ 0. Так как сумма углов треугольника равна 180^o, то $\alpha$ = 60^o. Стороны этого треугольника равны 2R sin( $\alpha$ - $\gamma$ ), 2R sin $\alpha$ , 2R sin( $\alpha$ + $\gamma$ ). Поскольку против большего угла лежит большая сторона, то sin( $\alpha$ - $\gamma$ ) $\leq$ sin $\alpha$ $\leq$ sin( $\alpha$ + $\gamma$ ).
а) Если числа sin( $\alpha$ - $\gamma$ ) $\leq$ sin $\alpha$ $\leq$ sin( $\alpha$ + $\gamma$ ) образуют арифметическую прогрессию, то sin $\alpha$ = (sin( $\alpha$ + $\gamma$ ) + sin( $\alpha$ - $\gamma$ ))/2 = sin $\alpha$ cos $\gamma$ , т. е. cos $\gamma$ = 1, или $\gamma$ = 0. Следовательно, все углы треугольника равны 60^o.
б) Если числа sin( $\alpha$ - $\gamma$ ) $\leq$ sin $\alpha$ $\leq$ sin( $\alpha$ + $\gamma$ ) образуют геометрическую прогрессию, то sin² $\alpha$ = sin( $\alpha$ - $\gamma$ )sin( $\alpha$ + $\gamma$ ) = sin² $\alpha$ cos² $\gamma$ - sin² $\gamma$ cos² $\alpha$ $\leq$ sin² $\alpha$ cos² $\gamma$ . Поэтому cos $\gamma$ = 1, т. е. все углы треугольника равны 60^o.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	9
Название	Разные задачи
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)
задача
Номер	12.068