Информация о задаче

Задача 57655

Тема:

[

Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Продолжения биссектрис треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что S_ABC/S_A₁B₁C₁ = 2r/R, где r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Решение

Легко проверить, что S_ABC = 2R²sin $\alpha$ sin $\beta$ sin $\gamma$ . Аналогично S_A₁B₁C₁ = 2R²sin(( $\beta$ + $\gamma$ )/2)sin(( $\alpha$ + $\gamma$ )/2)sin(( $\alpha$ + $\beta$ )/2) = 2R²cos( $\alpha$ /2)cos( $\beta$ /2)cos( $\gamma$ /2). Поэтому S_ABC/S_A₁B₁C₁ = 8 sin( $\alpha$ /2)sin( $\beta$ /2)sin( $\gamma$ /2) = 2r/R (см. задачу 12.36, а).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	9
Название	Разные задачи
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)
задача
Номер	12.072