ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57701
Тема:    [ Неравенства с векторами ]
Сложность: 3
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны точки A, B, C и D. Докажите, что AB2 + BC2 + CD2 + DA2$ \ge$AC2 + BD2, причем равенство достигается, только если ABCD — параллелограмм.

Решение

Пусть a = $ \overrightarrow{AB}$, b = $ \overrightarrow{BC}$ и  c = $ \overrightarrow{CD}$. Тогда $ \overrightarrow{AD}$ = a + b + c, $ \overrightarrow{AC}$ = a + b и  $ \overrightarrow{BD}$ = b + c. Ясно также, что |a|2 + |b|2 + |c|2 + |a + b + c|2 - |a + b|2 - |b + c|2 = |a|2 + 2(a,c) + |c|2 = |a + c|2$ \ge$ 0. Равенство достигается, только если a = - c, т. е. ABCD — параллелограмм.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 3
Название Неравенства
Тема Неравенства с векторами
задача
Номер 13.019

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .