ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 57701

Тема:   [ Неравенства с векторами ]
Сложность: 3
Классы: 9

Даны точки A, B, C и D. Докажите, что AB2 + BC2 + CD2 + DA2$ \ge$AC2 + BD2, причем равенство достигается, только если ABCD — параллелограмм.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57702

Тема:   [ Неравенства с векторами ]
Сложность: 3+
Классы: 9

Докажите, что из пяти векторов всегда можно выбрать два так, чтобы длина их суммы не превосходила длины суммы оставшихся трех векторов.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57703

Тема:   [ Неравенства с векторами ]
Сложность: 4
Классы: 9

Десять векторов таковы, что длина суммы любых девяти их них меньше длины суммы всех десяти векторов. Докажите, что существует ось, проекция на которую каждого из десяти векторов положительна.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57704

Тема:   [ Неравенства с векторами ]
Сложность: 4
Классы: 9

Точки A1,..., An лежат на окружности с центром O, причем $ \overrightarrow{OA_1}$ +...+ $ \overrightarrow{OA_n}$ = $ \overrightarrow{0}$. Докажите, что для любой точки X справедливо неравенство XA1 +...+ XAn$ \ge$nR, где R — радиус окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57705

Тема:   [ Неравенства с векторами ]
Сложность: 4
Классы: 9

Дано восемь вещественных чисел a, b, c, d, e, f, g, h. Докажите, что хотя бы одно из шести чисел ac + bd, ae + bf, ag + bh, ce + df, cg + dh, eg + fh неотрицательно.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .