ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57702
Тема:    [ Неравенства с векторами ]
Сложность: 3+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что из пяти векторов всегда можно выбрать два так, чтобы длина их суммы не превосходила длины суммы оставшихся трех векторов.

Решение

Рассмотрим пять векторов  a1,a2,a3,a4,a5 и предположим, что длина суммы любых двух из них больше длины суммы трех оставшихся. Так как |a1 + a2| > |a3 + a4 + a5|, то |a1|2 + 2(a1,a2) + |a2|2 > |a3|2 + |a4|2 + |a5|2 + 2(a3,a4) + 2(a4,a5) + 2(a3,a5). Складывая такие неравенства для всех десяти пар векторов, получаем 4(|a1|2 +...) + 2((a1,a2) +...) > 6(|a1|2 +...) + 6((a1,a2)...), т. е. |a1+a2+a3+a4+a5|2 < 0. Приходим к противоречию.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 3
Название Неравенства
Тема Неравенства с векторами
задача
Номер 13.020

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .