Задача 57705

Тема:    [ Неравенства с векторами ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Дано восемь вещественных чисел a, b, c, d, e, f, g, h. Докажите, что хотя бы одно из шести чисел ac + bd, ae + bf, ag + bh, ce + df, cg + dh, eg + fh неотрицательно.

Решение

Рассмотрим на плоскости четыре вектора (a, b), (c, d ), (e, f ) и (g, h). Один из углов между этими векторами не превосходит 360^o/4 = 90^o. Если же угол между векторами не превосходит 90^o, то их скалярное произведение неотрицательно.
Данные шесть чисел являются скалярными произведениями всех пар наших четырех векторов, поэтому одно из них неотрицательно.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	3
Название	Неравенства
Тема	Неравенства с векторами
задача
Номер	13.023