Условие
Дано восемь вещественных чисел
a,
b,
c,
d,
e,
f,
g,
h.
Докажите, что хотя бы одно из шести чисел
ac +
bd,
ae +
bf,
ag +
bh,
ce +
df,
cg +
dh,
eg +
fh неотрицательно.
Решение
Рассмотрим на плоскости четыре вектора (
a,
b), (
c,
d ), (
e,
f )
и (
g,
h). Один из углов между этими векторами не превосходит
360
o/4 = 90
o. Если же угол между векторами не
превосходит
90
o, то их скалярное произведение неотрицательно.
Данные шесть чисел являются скалярными произведениями всех
пар наших четырех векторов, поэтому одно из них неотрицательно.
Источники и прецеденты использования
