ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57704
Тема:    [ Неравенства с векторами ]
Сложность: 4
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки A1,..., An лежат на окружности с центром O, причем $ \overrightarrow{OA_1}$ +...+ $ \overrightarrow{OA_n}$ = $ \overrightarrow{0}$. Докажите, что для любой точки X справедливо неравенство XA1 +...+ XAn$ \ge$nR, где R — радиус окружности.

Решение

Пусть ai = $ \overrightarrow{OA_i}$ и  x = $ \overrightarrow{OX}$. Тогда |ai| = R и  $ \overrightarrow{XA_i}$ = ai - x. Поэтому $ \sum$XAi = $ \sum$|ai - x| = $ \sum$|ai - x| . |ai|/R$ \ge$$ \sum$(ai - x,ai)/R = $ \sum$(ai,ai)/R - (x,$ \sum$ai)/R. Остается заметить, что (ai,ai) = R2 и  $ \sum$ai = 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 3
Название Неравенства
Тема Неравенства с векторами
задача
Номер 13.022

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .