Информация о задаче

Задача 57704

Тема:

[

Неравенства с векторами

]

Сложность: 4
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Точки A₁,..., A_n лежат на окружности с центром O, причем $\overrightarrow{OA_1}$ +...+ $\overrightarrow{OA_n}$ = $\overrightarrow{0}$ . Докажите, что для любой точки X справедливо неравенство XA₁ +...+ XA_n $\ge$ nR, где R — радиус окружности.

Решение

Пусть a_i = $\overrightarrow{OA_i}$ и x = $\overrightarrow{OX}$ . Тогда |a_i| = R и $\overrightarrow{XA_i}$ = a_i - x. Поэтому $\sum$ XA_i = $\sum$ |a_i - x| = $\sum$ |a_i - x|^.|a_i|/R $\ge$ $\sum$ (a_i - x,a_i)/R = $\sum$ (a_i,a_i)/R - (x, $\sum$ a_i)/R. Остается заметить, что (a_i,a_i) = R² и $\sum$ a_i = 0.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	3
Название	Неравенства
Тема	Неравенства с векторами
задача
Номер	13.022