ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57703
Тема:    [ Неравенства с векторами ]
Сложность: 4
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Десять векторов таковы, что длина суммы любых девяти их них меньше длины суммы всех десяти векторов. Докажите, что существует ось, проекция на которую каждого из десяти векторов положительна.

Решение

Обозначим данные векторы e1,...,e10. Пусть $ \overrightarrow{AB}$ = e1 +...+ e10. Докажем, что луч AB задает искомую ось. Ясно, что |$ \overrightarrow{AB}$ - ei|2 = AB2 - 2($ \overrightarrow{AB}$,ei) + |ei|2, т. е. ($ \overrightarrow{AB}$,ei) = (AB2 + |ei|2 - |$ \overrightarrow{AB}$ - ei|2)/2. По условию AB > |$ \overrightarrow{AB}$ - ei|, поэтому ($ \overrightarrow{AB}$,ei) > 0, т. е. проекция вектора  ei на луч AB положительна.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 3
Название Неравенства
Тема Неравенства с векторами
задача
Номер 13.021

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .