Информация о задаче

Задача 57703

Тема:

[

Неравенства с векторами

]

Сложность: 4
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Десять векторов таковы, что длина суммы любых девяти их них меньше длины суммы всех десяти векторов. Докажите, что существует ось, проекция на которую каждого из десяти векторов положительна.

Решение

Обозначим данные векторы e₁,...,e₁₀. Пусть $\overrightarrow{AB}$ = e₁ +...+ e₁₀. Докажем, что луч AB задает искомую ось. Ясно, что | $\overrightarrow{AB}$ - e_i|² = AB² - 2( $\overrightarrow{AB}$ ,e_i) + |e_i|², т. е. ( $\overrightarrow{AB}$ ,e_i) = (AB² + |e_i|² - | $\overrightarrow{AB}$ - e_i|²)/2. По условию AB > | $\overrightarrow{AB}$ - e_i|, поэтому ( $\overrightarrow{AB}$ ,e_i) > 0, т. е. проекция вектора e_i на луч AB положительна.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	3
Название	Неравенства
Тема	Неравенства с векторами
задача
Номер	13.021